As duas formas – elegível e ilegível – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
São palavras parónimas pois têm significantes e significados diferentes, mas aproximam-se fónica e graficamente, dando lugar a algumas dúvidas.
Elegível significa que pode ser eleito.
Nem toda a gente é elegível para asilo.
O tribunal declarou que essa pessoa é elegível como candidato à presidência da Câmara.
Ilegível significa que não se pode ler ou que é de difícil leitura (anónimo de legível).
Se pretendemos comunicar e a escrita é ilegível, isso é um paradoxo.
Por criptagem entende-se a transformação de dados numa forma ilegível para quem não disponha de uma chave de decifração.
Referências
Elegível advém do latim eligibilis.
Ilegível advém da construção in + legível.