A forma correta de escrita é elogio de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito sem acento gráfico.
Elogio, como substantivo, significa o ato ou efeito de elogiar; louvor das qualidades e méritos de alguém ou de algo; aplauso.
Sinto-me honrado pelo elogio!
Nada como um elogio sincero e espontâneo.
Como forma verbal é a primeira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo elogiar.
eu [ elogio ]
Eu elogio o juiz pela decisão.
Elógio não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.
Referências
Elogio, como substantivo, advém do latim elogiu.