A forma correta de escrita é elogio de acordo com a Língua Portuguesa.

Ou seja, é escrito sem acento gráfico.

Elogio, como substantivo, significa o ato ou efeito de elogiar; louvor das qualidades e méritos de alguém ou de algo; aplauso.

Sinto-me honrado pelo elogio!
Nada como um elogio sincero e espontâneo.

Como forma verbal é a primeira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo elogiar.

eu [ elogio ]

Eu elogio o juiz pela decisão.

Elógio não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.


Referências

Elogio, como substantivo, advém do latim elogiu.