A forma correta de escrita é encoraje de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a consoante “j” formando a sílaba -je.
Encoraje é uma forma verbal do verbo encorajar, nomeadamente a primeira e terceira pessoa do singular do presente do modo subjuntivo e a terceira pessoa do singular do imperativo (afirmativo/negativo) do verbo.
que eu [ encoraje ], que ele; ela; você [ encoraje ], [ encoraje ] ele; ela; você
Não é algo que eu encoraje, acho que é uma má ideia.
Encoraje ela a fazer melhor!
Encorajar significa incutir coragem a; estimular; animar.
Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida ou desejo
Encorage não existe na Língua Portuguesa.
Referências
Advém do verbo encorajar.