As duas formas – enxugar e enxaguar – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Enxugar significa secar; extrair a água de uma matéria ou mercadoria.
Para enxugar os vidros utilizar um pano ou uma camurça.
Diz-se também de não mais verter (lágrimas) ou enxugá-las.
Eu estava lá para enxugar suas lágrimas.
Enxaguar significa lavar em duas ou mais águas; lavar ligeiramente; lavar o que já estava ensaboado.
Ensaboar, enxaguar, repetir e pronto.
Deixar atuar 15 minutos e depois enxaguar com água tépida.
Referências
Enxugar advém do latim exsucare.
Enxaguar advém do … ….