As duas formas – espesso e expeço – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.

Espesso é um adjetivo que significa que é grosso; denso; compacto; opaco; consistente; grosso

Não encontraram sinais de gelo espesso nos pólos.
É feito a partir de leite magro e é mais espesso do que o iogurte grego.

Expeço é uma forma verbal do verbo expedir, nomeadamente a primeira pessoa do presente de indicativo do verbo.

eu [ espeço ]

Eu espeço o documento para lá.
Espeço uma carta rogatória para o tribunal a fim de formalizar a solicitação.


Referências

Espesso advém do latim spissu.
Espeço advém do verbo expedir.