As duas formas – estádio e estágio – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, têm acepções diferentes mas são sinônimos quando o sentido é fase ou período.

Estádio significa campo circundado por bancadas em anfiteatro para competições desportivas; diz-se também de estação, época, período.

Já vi muitos jogos neste estádio.
Eu próprio joguei neste estádio, em 1982.
O segundo estádio do projeto chegará ao fim em breve :: podemos usar estágio

Em medicina diz-se de cada fase da evolução de uma doença.

A doença chegou em um estádio crítico :: podemos usar estágio

Estágio significa o período de aprendizagem prático; preparação; período; fase.

Fiz estágio numa firma de construção.
Existem 35 candidaturas a este estágio.
Paciente com leucemia no estágio 4 :: podemos usar estádio


Referências

Estádio advém do latim stadium.
Estágio advém do latim stagium.