A forma correta de escrita é expedir de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a consoante “x” formando a sílaba ex-
Expedir significa enviar algo (principalmente por correio); enviar alguém; emitir ou despachar prontamente
Deve assinar e expedir por por carta registada.
O embaixador pediu-me para expedir os vistos para os trabalhadores.
Não há provas suficientes contra ele para expedir um mandado de prisão.
Sinónimos de expedir: despachar, enviar, remeter, encaminhar, emitir, transmitir, mandar, declarar, promulgar.
Espedir não está correto na Língua Portuguesa.
Referências
Advém do latim expedire.