As duas formas – extremo e estremo – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Extremo significa situado na extremidade; que está no último ponto, no mais alto grau; derradeiro; remoto; longínquo; fim.
Calor extremo pode ser mortal.
Desliza por si própria até ao extremo contrário.
Estremo é uma forma verbal do verbo estremar, nomeadamente a primeira pessoa do singular do presente indicativo do verbo.
eu [ estremo ]
Se quiserem eu estremo uma faixa de terra.
Estremo a minha posição dizendo novamente que sou inocente.
Obs:
verbo estremar = demarcar espaços; escolher, selecionar; diferenciar, distinguir; remeter, encaminhar, dirigir alguém
presente do indicativo = referente ao presente, que está ocorrendo no momento ou que não dependem de um tempo específico
Referências
Extremo advém do latim extremus.
Estremo advém do verbo estremar.