A forma correta de escrita é finjo de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a consoante “j”.
Finjo é uma forma verbal do verbo fingir, nomeadamente a primeira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo; significa simular, fantasiar, querer passar por algo que não é.
eu [ finjo ]
Ás vezes finjo que não percebo.
Exerço sempre o meu dever cívico de votar e finjo acreditar que isso mudará algo.
Obs: de facto, o verbo fingir é escrito com a consoante “g” daí haver algumas dúvidas na conjugação do mesmo, outros exemplos com a letra “j”: que tu finjas, vós fingi, nós não finjamos.
Fingo não existe na Língua Portuguesa.
Referências
Fingir advém do latim fingere.