A forma correta de escrita é focinho de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a vogal “o” formando a sílaba fo-
Focinho significa a parte saliente e anterior da cabeça de alguns animais; tromba.
O focinho de um urso mete medo!
Os cães de focinho achatado, como o pug e o bulldog francês, estão na moda.
Diz-se também, de forma popular, do rosto ou cara do homem.
Isso está mesmo à frente do teu focinho!
Fuchinho não está correto na Língua Portuguesa.
Referências
Advém do latim faucinus.