A forma correta de escrita é focinho de acordo com a Língua Portuguesa.

Ou seja, é escrito com a vogal “o” formando a sílaba fo-

Focinho significa a parte saliente e anterior da cabeça de alguns animais; tromba.

O focinho de um urso mete medo!
Os cães de focinho achatado, como o pug e o bulldog francês, estão na moda.

Diz-se também, de forma popular, do rosto ou cara do homem.

Isso está mesmo à frente do teu focinho!

Fuchinho não está correto na Língua Portuguesa.


Referências

Advém do latim faucinus.