As duas formas – gerir e gerenciar – existem na Língua Portuguesa e têm o mesmo significado.
Ou seja, são palavras sinônimas na maioria dos contextos **, a principal diferença tem a ver com o uso (Portugal vs Brasil).
Gerir (ou gerenciar) significa exercer gerência, exercer funções de gerente; dirigir; administrar; governar.
Talvez não saibam gerenciar um negócio!
Ele é jovem demais para gerir esta responsabilidade.
Você não pode gerenciar tanta gente.
Em Portugal raramente se utiliza “gerenciar”, no Brasil ambas as palavras são usadas.
** Em termos técnicos existem algumas diferenças entre “gestão” e “gerenciamento” pelo que deve ter em conta o contexto em causa.
Referências
Gerir advém do latim gero.
Gerenciar advém da construção gerência + -ar.