A forma correta de escrita é infelizmente de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a consoante “z” formando a sílaba -liz-.
Infelizmente significa e forma infeliz ou inditosa; por infelicidade; desafortunadamente, tristemente.
Jogou bem mas infelizmente perdeu.
Infelizmente, temos mais chefes gestores do que líderes.
Palavras da mesma família também são escritas com “z”: feliz, infeliz, felizmente, felizardo, felizão.
Sinónimos de infelizmente: desgraçadamente, desafortunadamente, funestamente, lamentavelmente, tragicamente, ruinosamente, tristemente, deploravelmente.
Infelismente não está correto na Língua Portuguesa.
Referências
Advém da construção infeliz + mente.