As duas formas – despertaram e despertarão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo despertar, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Despertaram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ despertaram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Eles despertaram de um longo sono.
Tantos sonhos despertaram em meu coração.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Despertarão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ despertarão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Elas dormem, mas despertarão.
Muitos despertarão, para descobrir que foram enganados.