A forma correta de escrita é logo de acordo com a Língua Portuguesa.

Ou seja, não leva acento gráfico.

Logo, como advérbio, significa imediatamente ou de imediato; em curto espaço de tempo; próximo; precisamente; ainda por cima.

Chegaram logo depois.
Vou sair, mas volto logo.

Como conjunção tem o sentido de portanto; por conseguinte; assim.

Sempre a brincar, logo resultados miseráveis nos testes!

Como substantivo é a forma apocopada de logótipo, por influência do inglês (símbolo que representa uma instituição ou empresa).

O empresa teve necessidade de um novo logo.
O objetivo era de criar um logo com um aspecto único e atrevido.

Lógo não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.

É de referir que os termos “logótipo e logotipo” são ambos válidos, contudo recomenda-se logótipo (por razões de formação via -tipo) mas para logo não existe esta questão, escrevemos sem acento!


Referências

Advém do latim loco.