As duas formas manifestasse e manifesta-se existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo manifestar mas empregues em diferentes pessoas gramaticais/tempos verbais; com distintas pronúncias.
Manifestasse é a primeira e terceira pessoa do singular do pretérito imperfeito do modo subjuntivo do verbo.
se eu [ manifestasse ], se ele; ela; você [ manifestasse ]
O Papa pediu-me que manifestasse a sua gratidão a Vossa Alteza Real.
Entretanto, gostaria que o nosso distinto visitante se manifestasse.
A radiação deve ter feito com que ele se manifestasse.
Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida, desejo ou situações hipotéticas
A forma manifesta-se, com hífen, é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “se”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica, no caso ele, ela ou você.
O amor, às vezes, manifesta-se pelo sacrifício.
A doença manifesta-se na forma de desequilíbrio estrutural, bioquímico e mental.
Esta fadiga manifesta-se através da diminuição da claridade de articulação.