As duas formas – mantém e mantêm – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo manter, devem é ser usadas em pessoas gramaticais diferentes.
Mantém é a conjugação na terceira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo.
ele; ela; você [ mantém ]
Ela mantém tudo em ordem!
O empregador mantém um registo de todos os contratos.
Mantêm é a conjugação na terceira pessoa do plurar do presente do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ mantêm ]
Elas mantêm tudo em ordem!
Os professores mantêm registos do comparecimento e do desempenho dos estudantes.
Deixamos aqui a conjugação no presente do indicativo do verbo:
presente do indicativo
| eu | mantenho |
| tu | manténs |
| ele; ela; você | mantém |
| nós | mantemos |
| vós | mantendes |
| eles; elas; vocês | mantêm |