As duas formas mantém-se e mantêm-se estão corretas, “mantem-se” está incorreto.
Ou seja, ambas as palavras referidas estão corretas e são formas verbais do verbo manter mas empregues em diferentes pessoas gramaticais.
Obs: A flexão com hífen, é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “se”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica.
Mantém-se, e na conjugação pronominal, é a pessoa do singular do presente do indicativo do verbo.
ele; ela; você [ mantém-se ]
Como disse, o plano mantém-se.
Esta situação mantém-se idêntica à do inquérito inicial.
Mantêm-se, e na conjugação pronominal, é a pessoa do plural do presente do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ mantêm-se ]
Muitas empresas mantêm-se afastadas da política.
Nas igrejas, mantêm-se as linhas Góticas tradicionais.
Mantem-se não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.
Referências
Manter advém do latim manutenere.