As duas formas metesse e mete-se existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo meter mas empregues em diferentes pessoas gramaticais/tempos verbais; com distintas pronúncias.

Metesse é a primeira e terceira pessoa do singular do pretérito imperfeito do modo subjuntivo do verbo.

se eu [ metesse ], se ele; ela; você [ metesse ]

Eu pedi que não se metesse.
Estava à espera que metesse a pata na poça.

Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida, desejo ou situações hipotéticas

A forma mete-se, com hífen, é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “se”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica, no caso ele, ela ou você.

Ele mete-se no meio de tudo.
Se tentar algum truque mete-se em grandes sarilhos.