As duas formas – nós e nós nos – existem na Língua Portuguesa; “nóis” está errado.
Ou seja, dependendo do contexto somos a utilizar “nós” ou “nós nos” mas jamais qualquer união do tipo “nóis”.
Nós é um pronome que significa primeira pessoa do plural; um grupo de pessoas, incluindo a si mesmo.
Aqui vamos nós!
Foi um grande problema para nós.
O vocábulo nos é um pronome pessoal equivalente a “a nós”, “para nós” e que na função de complemento permite ligações do tipo: foi-nos, deram-nos, pagou-nos etc.
A junção de nós + nos em algum contexto pode ser admitida em construções do tipo:
Nós nos confessamos.
Nós não nos comprometemos com nada!
Ou seja, faz ligação entre o sujeito e o verbo.
Nóis ou nois não existe na Língua Portuguesa.