As duas formas – tem-lo e tem-no – existem na Língua Portuguesa; “tem-o” está incorreto.
Ou seja, ambas as expressões “tem-lo e tem-no” estão corretas e derivadas do verbo ter + pronome pessoal, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Tem-lo é a forma verbal correspondente à segunda pessoa do singular.
tu [ tem-lo ]
Tem-lo feito através da prescrição de medicamentos.
Tem-no é a forma verbal correspondente à terceira pessoa do singular.
ele [ tem-no ]
Ele tem-no visto frequentemente.
Obs: “tem-lo” e “tem-no” são “construções” do tipo verbo + pronome pessoal
Tem-o, como indicado, não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.
Até poderia fazer sentido escrever desta forma mas a regra diz que quando a forma verbal termina em som nasal, o pronome enclítico altera-se para -no.
Notar que em outros casos (verbos) é escrito com -o :
Vi-o fechar a mala.
Eu comprei-o porque é difícil achar um que me sirva.