A forma correta de escrita é período de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com acento agudo em “i”.
Período significa, em resumo, o intervalo de tempo entre dois acontecimentos ou duas datas. Pode tomar o sentido de ciclo, era ou fase.
O plural de período é períodos e também leva acento gráfico.
Esta questão também se estende ao erro comum de escrever “periudo e períudo”; ambas estas formas estão incorretas.
Como sinônimos de período podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: ciclo, divisão, época, era, espaço temporal, etapa, fase, intervalo, tempo, temporada.
Periodo não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.
Referências
Advém do latim periodu.