As duas formas – permitiram e permitirão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo permitir, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Permitiram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ permitiram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Vocês permitiram que isso acontecesse.
As diligências realizadas permitiram capturar o criminoso.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Permitirão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ permitirão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Será que eles permitirão que eu fale?
O fim das faturas em papel permitirão poupar “milhões”.