As duas formas – persistiram e persistirão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo persistir, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Persistiram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ persistiram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Eles persistiram na pergunta… mas não receberam resposta.
Outras das atividades que persistiram é a indústria do calçado.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Persistirão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ persistirão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
É evidente que persistirão muitos problemas.
As diferenças entre nós persistirão.