As duas formas prosseguiram e prosseguirão existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo prosseguir, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Prosseguiram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ prosseguiram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
As manifestações de protesto prosseguiram por cerca de dez dias.
Durante essse período prosseguiram as disputas entre os dois papas.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Prosseguirão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ prosseguirão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Estas pesquisas prosseguirão até o próximo ano.
As doações prosseguirão nas próximas semanas para outras prefeituras da região.