A forma correta de escrita é quase de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a consoante “s” formando a sílaba -se.
Quase significa perto de; aproximadamente; por pouco.
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Como sinónimos de quase podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: perto, proximamente, praticamente, acerca, aproximadamente, cerca, de forma prática, experimentalmente, junto, perto de, por pouco.
Quaze não existe na Língua Portuguesa.
E quasi, podemos usar?
Quasi é a palavra latina de origem; poderá usar em contextos não formais tal como Camões usava quási no lugar de quase.
Referências
Advém do latim quasi.