As duas formas a quase e há quase estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
A quase significa a pouco menos de; a aproximadamente; a perto de; a pouco de.
Estamos quase a acabar, senhor.
A parte inferior varia na cor de verde claro a quase branco.
Moram a quase duas horas daqui.
Há quase significa, basicamente, que existe(m) (ou decorrido) aproximadamente, cerca de, perto de. «Há» (forma verbal do verbo haver) toma, nesta construção, o sentido de existência ou “tempo decorrido”.
Não fumo há quase dois dias.
Brad, isso foi há quase 20 anos atrás.
Não há quase nenhum atraso nos voos :: sentido de existir