A forma correta de escrita é há quase de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com há; «há» (forma verbal do verbo haver) toma, nesta construção, o sentido de “tempo decorrido” ou existência.
Há quase é equivalente a dizer que existe (ou decorrido) aproximadamente; perto de; por pouco [..]
Não fumo há quase dois dias :: sentido tempo decorrido
O meu marido está desaparecido há quase uma semana :: sentido tempo decorrido
Neste envelope há quase 10 mil dólares :: sentido existir
Não há quase ninguém neste bote :: sentido existir
A forma à quase não está correto na Língua Portuguesa.
Notar que à (chamada crase) é uma contração de a (preposição) + a (artigo definido ou pronome demonstrativo). Não se aplica com o advérbio quase.