A forma correta de escrita é rainha de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito sem acento agudo no “i”.
Rainha significa a consorte do rei; governante de um sistema político monárquico ou uma peça de xadrez.
A regra é que a vogal “i” seguida de “nh” dispensa o uso de acento gráfico ( mesmo sendo a silaba tónica ).
Ex: caipirinha, cozinha, bainha, sardinha, pinha.
Como sinônimos de rainha podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: alteza, dama, governante, imperatriz, majestade, monarca, superior, título.
Raínha não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.
Referências
Advém do latim regina.