As duas formas solícito e solicito estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Solícito, com acento agudo na vogal “i”, é um substantivo – significa cuidadoso, prestativo, pressuroso, diligente; cuidadoso consigo ou com coisa que lhe diga respeito.
O caixa da loja foi muito solícito.
Pensei que fosses um namorado atencioso e solícito, mas enganei-me.
Solicito, sem acento gráfico, é a primeira pessoa do singular do presente indicativo do verbo solicitar.
eu [ solicito ]
Sim, solicito que isto seja tomado em consideração.
Meritíssimo, solicito nova declaração em nome de Marcus.
Obs:
verbo solicitar = requerer; provocar; fazer requerimentos
Referências
Solícito advém do latim sollicitu.
Solicito advém do verbo solicitar.