A forma correta de escrita é surgem de acordo com a Gramática Portuguesa.
Surgem é a terceira pessoa do plural do presente do indicativo do verbo surgir.
eles; elas; vocês [ surgem ]
Eles surgem do nada.
Surgem como pragas.
O mesmo é válido para na terceira pessoa do singular do presente do indicativo – ele; ela; você [ surge ] escrito com “g”.
Lembrar que existem formas verbais onde é utilizada a letra “j” na conjugação do verbo surgir.
Eu surjo do nada.
Que eles surjam menos vezes.
Surjem não existe na Língua Portuguesa.
Obs:
verbo surgir = aparecer de repente ou de surpresa; nascer, manifestar-se, aparecer.