As duas formas – vadiar e vadear – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, serem usadas em diferentes situações.
Vadiar significa levar vida de vadio; andar à tuna; não ter ofício nem emprego.
Um mês na rua a vadiar.
Sou obrigado a trabalhar ou tenho o direito de vadiar?
Como sinónimos de vadiar podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: garotar, malandrar, mandriar, mandrionar, mariolar, passarinhar, preguiçar, vagabundar, vagabundear.
Vadear é um termo pouco usado mas existente na gramática portuguesa que significa passar um vau. Pode ter o sentido figurado de superar uma dificuldade.
O método de vadear é prática corrente na pesca à truta.
Vadear pode ser perigoso se não conhecermos o bem o rio.
Referências
Vadiar advém da construção vadio + ar.
Vadear advém do latim vadus.
Vau significa lugar num rio por onde se pode atravessar.