A forma correta de escrita é vaivém de acordo com a Gramática Portuguesa.
Vaivém significa movimento de objecto que vai e vem, alternativa ou movimento oscilatório.
O teste de vaivém consiste na execução do número máximo de percursos realizados numa distância de 20 mts a uma cadência pré-determinada.
O vaivém Atlantis voltou ontem à Terra pela última vez.
Obs: é também o nome dado à nave espacial dos EUA por ser uma nave que vai e vem ao contrário dos tradicionais foguetões.
Vai-vem não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.
Obs: Em termos de etimologia advém de ir + vir.