As duas formas – abdica e abdique – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões são formas verbais do verbo abdicar, devendo, no entanto, serem usadas em tempos ou modos diferentes.

Abdica é uma forma verbal do verbo abdicar, nomeadamente a terceira pessoa do singular do presente do indicativo do verbo e a segunda pessoa do singular do imperativo do verbo.

ele; ela; você || abdica
abdica || tu

O clube abdica de cláusula de rescisão.
Abdica tu se quiseres, cá por mim desejo a minha cota parte da herança.

Abdique é uma forma verbal do verbo abdicar, nomeadamente a primeira e terceira pessoa do singular do presente do subjuntivo do verbo e a terceira pessoa do singular do imperativo (afirmativo e negativo) do verbo.

que eu || abdique
que ele; ela; você || abdique
abdique || ele; ela; você
não || abdique || ele; ela; você

Não abdique em ir de férias.
O Código do Trabalho permite que o trabalhador abdique do gozo de dias de férias.
Deixo um apelo para que de forma empenhada ninguém abdique dos seus direitos.