As duas formas animá-lo e anima-lo estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras estão corretas e são formas verbais do verbo animar com o pronome oblíquo átono “o” que assume a forma lo depois do verbo quando este termina em “r, s ou z” (ao mesmo tempo que a terminação verbal é suprimida) mas empregues em diferentes tempos verbais.
Animá-lo, com acento agudo na vogal “a”, é referente ao infinitivo do verbo.
o animar = [ animá-lo ]
Soube que ele estava doente e vim animá-lo.
Um bom café da manhã irá animá-lo.
Talvez eu possa animá-lo com um pouco de música.
Obs:
infinitivo – transmite ideia de uma ação ou estado, porém sem vinculá-la a um tempo, modo ou pessoa específica
Anima-lo, sem acento gráfico, é referente à segunda pessoa do singular do indicativo do verbo.
tu o animas = [ anima-lo ]
É uma flexão menos usada mas válida.
Tu anima-lo a esforçar-se ainda mais.
Anima-lo nisso, ok?