As duas formas asilar e exilar estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Asilar significa dar asilo a; albergar em asilo de caridade; acolher, proteger, hospedar.
Asilar alguém procurado pela Inquisição é um delito mortal.
Alberto Fernández diz que Evo poderá se asilar na Argentina.
A União Europeia recusa-se a asilar mais imigrantes.
Exilar significa mandar ao exílio ou impor-se a ele; expulsar da pátria; expatriar.
Vou mandá-lo exilar no canto mais longínquo do planeta.
Em 1854 foi libertado na condição de se exilar da Irlanda.
Referências
Asilar advém da construção asilo + ar.
Exilar advém da construção exílio + ar.