As duas formas – brotaram e brotarão – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo brotar, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.

Brotaram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ brotaram ]

« relativo a uma situação passada ou concluída »

Algumas sementes brotaram rapidamente.
E dos ramos das memórias brotaram… inúmeras flores de momentos passados.

Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado

Brotarão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.

eles; elas; vocês [ brotarão ]

« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »

No momento certo, as coisas brotarão.
Está a semear sementes que um dia brotarão e frutificarão