As duas formas calcar e calçar estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Calcar significa amassar com os pés; pressionar de cima para baixo; esmagar, moer, comprimir.
Tens de calcar o pedal bem a fundo!
Estás a calcar uma mina.
Calçar, com cê cedilhado, significa meter os pés (em calçado); meter as mãos (em luvas); prover de calçado; empedrar; calcetar; firmar; pôr calço em.
Demorei 10 minutos a calçar uma bota.
Gostava de lhe calçar estas luvas.
Referências
Calcar advém do latim calcare.
Calçar advém do latim calceare.