A forma correta de escrita é colher de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a vogal “o” formando a sílaba co-.
Colher, como substantivo, significa utensílio formado por um cabo e uma parte côncava ou concha; quantidade de alimento ou tempero que cabe numa colher.
Adicione duas colheres de azeite e uma colher de vinagre.
Como verbo significa apanhar (frutos ou plantas); cortar (flores).
As árvores precisam crescer mais dois anos para que se possam colher as primeiras frutas.
Pode ter o sentido de apanhar e recolher dividendos, benefícios, etc.
Estamos a colher os frutos que semeamos.
Esta questão também se estende ao erro comum de escrever “côlher”; forma igualmente incorreta.
Culher não existe na Língua Portuguesa.
Referências
Como substantivo advém do latim cochleare.
Como verbo advém do latim colligere.