As duas formas elegê-lo e elege-lo estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras estão corretas e são formas verbais do verbo eleger com o pronome oblíquo átono “o” que assume a forma lo depois do verbo quando este termina em “r, s ou z” (ao mesmo tempo que a terminação verbal é suprimida) mas empregues em diferentes tempos verbais.
Elegê-lo, com acento circunflexo na vogal “e”, é referente ao infinitivo do verbo.
o eleger = [ elegê-lo ]
Proponho elegê-lo membro honorário do nosso esquadrão.
Para liderar, a população deve elegê-lo.
Houve quem perguntasse: Porque devemos elegê-lo?
Obs:
infinitivo – transmite ideia de uma ação ou estado, porém sem vinculá-la a um tempo, modo ou pessoa específica
Elege-lo, sem acento gráfico, é referente à segunda pessoa do singular do indicativo do verbo.
tu o eleges = [ elege-lo ]
É uma flexão menos usada mas válida.
Se concordas com ele então tu elege-lo.