A forma correta de escrita é esclarecer de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a consoante “s” formando a sílaba es-.
Esclarecer significa tornar claro; tornar inteligível; elucidar; ilustrar.
Não quis esclarecer o motivo da demissão.
É preciso esclarecer qual é o papel do Presidente da República.
Pode ter o sentido de tornar(-se) nobre, ilustre.
Como sinónimos de esclarecer podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: aclarar, resolver, elucidar, ilustrar, explicar, desatar, expor.
Exclarecer não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.
Referências
Advém da construção es + claro + ecer.