A forma correta de escrita é esclarecer de acordo com a Língua Portuguesa.

Ou seja, é escrito com a consoante “s” formando a sílaba es-.

Esclarecer significa tornar claro; tornar inteligível; elucidar; ilustrar.

Não quis esclarecer o motivo da demissão.
É preciso esclarecer qual é o papel do Presidente da República.

Pode ter o sentido de tornar(-se) nobre, ilustre.

Como sinónimos de esclarecer podemos, mediante o contexto, usar os seguintes termos: aclarar, resolver, elucidar, ilustrar, explicar, desatar, expor.

Exclarecer não está gramaticalmente correto na Língua Portuguesa.


Referências

Advém da construção es + claro + ecer.