As duas formas esquecesse e esquece-se existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo esquecer mas empregues em diferentes pessoas gramaticais/tempos verbais; com distintas pronúncias.
Esquecesse é a primeira e terceira pessoa do singular do pretérito imperfeito do modo subjuntivo do verbo.
se eu [ esquecesse ], se ele; ela; você [ esquecesse ]
Estaria muito agradecido se você esquecesse aquilo.
Pensava que nunca esquecesse sua cara!
Temia que o senhor se esquecesse que este é um caso como outro qualquer.
Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida, desejo ou situações hipotéticas
A forma esquece-se, com hífen, é uma conjugação pronominal (acompanhado do pronome oblíquo “se”) do verbo – neste caso, no presente do indicativo. O pronome é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica, no caso ele, ela ou você.
Com sorte, ele esquece-se de nós.
Às vezes esquece-se de como funciona o alarme.
Ela esquece-se sempre das boas maneiras em momentos de crise.