As duas formas – exigiram e exigirão – existem na Língua Portuguesa.
Ou seja, ambas as expressões estão corretas e são formas verbais do verbo exigir, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes tempos gramaticais.
Exigiram é a terceira pessoa do plural do pretérito perfeito do indicativo e a terceira pessoa do plural do pretérito mais-que-perfeito do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ exigiram ]
« relativo a uma situação passada ou concluída »
Alguns exigiram um prazo de quinze anos.
Eles exigiram que o resgate fosse pago em Bitcoin.
Obs:
pretérito perfeito = referente ao passado
pretérito mais-que-perfeito = referente ao passado do passado
Exigirão é a terceira pessoa do plural do futuro do indicativo do verbo.
eles; elas; vocês [ exigirão ]
« relativo a uma situação/possibilidade futura ou uma incerteza »
Não sei o que eles exigirão, vamos ver.
As novas tarefas exigirão o recrutamento de mais especialistas.