A forma correta de escrita é inteirar-se de acordo com a Língua Portuguesa.
Ou seja, é escrito com a vogal “i” formando a sílaba in-
Inteirar-se significa tomar conhecimento de; passar a saber; certificar-se.
Esteve na região para inteirar-se dos problemas ambientais.
Ele procura inteirar-se a respeito do que se passou.
Obs:
verbos pronominais = são aqueles que são acompanhados de um pronome oblíquo (me, te, se, nos, vos, se) e assim conjugados, é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica
Não confundir com a flexão “inteirasse” que é referente ao subjuntivo do verbo inteirar.
Gostaria de lhe sugerir que se inteirasse do conteúdo dos relatórios.
Enteirar-se não está correto na Língua Portuguesa.