A forma correta de escrita é inteirar-se de acordo com a Língua Portuguesa.

Ou seja, é escrito com a vogal “i” formando a sílaba in-

Inteirar-se significa tomar conhecimento de; passar a saber; certificar-se.

Esteve na região para inteirar-se dos problemas ambientais.
Ele procura inteirar-se a respeito do que se passou.

Obs:
verbos pronominais = são aqueles que são acompanhados de um pronome oblíquo (me, te, se, nos, vos, se) e assim conjugados, é usado para indicar ações relativas ao sujeito que as pratica

Não confundir com a flexão “inteirasse” que é referente ao subjuntivo do verbo inteirar.

Gostaria de lhe sugerir que se inteirasse do conteúdo dos relatórios.

Enteirar-se não está correto na Língua Portuguesa.