As duas formas – melhor e melhore – existem na Língua Portuguesa.

Ou seja, ambas as expressões estão corretas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.

Melhor, como adjetivo, é o superlativo de bom; comparativo de superioridade sintético de bom; o mais bom, o excelente.

É a melhor pessoa que conheço.
São os melhores preços você irá encontrar.

Como advérbio significa é o comparativo de superioridade sintético de bem.

O filme é melhor que o livro.
A minha mãe cozinha melhor que a tua.

Como substantivo significa aquilo que há é superior a tudo que é comparado; aquilo que é adequado, sensato.

Temos de fazer melhor!
Que ganhe o melhor, sou a favor de fair play.

Obs: melhores é o plural de melhor.

Melhore é uma forma verbal do verbo melhorar, nomeadamente a primeira e terceira pessoa do singular do presente do modo subjuntivo e a terceira pessoa do singular do imperativo do verbo.

que eu [ melhore ], que ele; ela; você [ melhore ]; [ melhore ] ele; ela; você

É de esperar que esta situação melhore.
Espero que o meu tornozelo melhore com o tratamento que estou a receber.

Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida, desejo ou situações hipotéticas


Referências

Melhor advém do latim melior.
Melhore advém do verbo melhorar.