As duas formas prova e prove estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras estão corretas e são formas verbais do verbo provar mas empregues em diferentes pessoas gramaticais/tempos verbais.
Obs: o âmbito desta dúvida é referente ao verbo provar; notar que “prova” é igualmente um substantivo (ver abaixo)
Prova é a terceira pessoa do singular do presente do indicativo e a segunda pessoa do singular do imperativo do verbo.
ele; ela; você [ prova ], [ prova ] tu
Ele prova que estou no caminho certo.
É assim que você prova o seu valor para Lorenzo?
Prove significa é a primeira e terceira pessoa do singular do presente do subjuntivo e a terceira pessoa do singular do imperativo do verbo.
que eu [ prove ], que ele; ela; você [ prove ], [ prove ] ele; ela; você
Talvez ele prove ser digno de você.
Agora… prove o vinho novamente.
Obs:
subjuntivo (português brasileiro) ou conjuntivo (português europeu) = modo verbal que não expressa certeza, e sim uma dúvida, desejo ou situações hipotéticas
Prova como substantivo:
Como substantivo a palavra prova significa o ato ou efeito de provar; aquilo que mostra ou confirma a verdade de um fato; ato de experimentar quarquer peça de vestuário para ver se assenta bem etc.
Eu nunca vi prova do contrário.
Lembrei que tenho uma prova amanhã.