As duas formas meses e messes estão corretas, contudo seus significados são diferentes.
Ou seja, ambas as palavras são válidas, devendo, no entanto, ser usadas em diferentes situações.
Meses é o plural de mês – significa várias das doze partes em que se divide o ano; vários períodos de trinta dias; remunerações mensais de um trabalhador.
Ele volta em seis meses.
Sonhei escrever-lhe aquela carta durante meses.
Messes, escrito com dois “ss”, é o plural de messe – significa colheitas; searas, terrenos de trigo ou centeio.
Sabemos que o Senhor procura trabalhadores para as suas várias messes.
Diz-se também das instalações onde oficiais e sargentos tomam refeições.
Leva os teus homens para a messe.
Referências
Mês advém do latim mensis.
Mese advém do latim messis.